（1）当数的末尾有偶数个0时，只讨论2009个1组成的数位完全平方数即可，

设为（10a+1）²=100a²+20a+1=20a（5a+1）+1，

或（10a+9）²=100a²+180a+81=20（5a+9a+4）+1，

由以上可知其十位数一定是偶数，因此2009个1组成的数不是完全平方数；

当数的末尾有奇数个0时，只讨论2009个1和1个0组成的数即可，

设为10k²，可其末尾至少有两个0，因此2009个1和1个0组成的数不是完全平方数；

综上所知，由2009个1和任意个0组成的自然数不是完全平方数；

（2）因为1010²=11110，101010²=1111110，…，

设11…11_{（2009个1）}****=11…11_{（2008个1）}0…0+1****=（1010…10+k）²（1004个10），

而2020…20k+k²=1****一定存在一个数k，例如k=5，可以使其成为完全平方数．