设函数f（x）=（x+1）n（n∈N），且当x=2时，f（x）的值为17+122

问题解答题

设函数f（x）=（x+1）ⁿ（n∈N），且当x=

时，f（x）的值为17+12

；g（x）=（x+a）^m（a≠1，a∈R），定义：F（x）=

2m+14n-7

f（x）-

2n+94m+1

g（x）．
（1）当a=-1时，F（x）的表达式．
（2）当x∈[0，1]时，F（x）的最大值为-65，求a的值．

答案

∵f（x）=（x+1）ⁿ，f（

）=17+12

，∴n=4 …（2分）

又∵

4n-7≥2m+1

4m+1≥2n+9

，∴m=4，

∴F（x）=（x+1）⁴-（x+a）⁴…（4分）

（1）当a=-1时，F（x）=（x+1）⁴-（x+a）⁴=8x³+8x …（6分）

（2）∵F（x）=（x+1）⁴-（x+a）⁴=4（1-a）x³+6（1-a²）x²+4（1-a³）x+1-a⁴

∵F′（x）=12（1-a）x²+12（1-a²）x+4（1-a³） …（8分）

△=[12（1-a²）]²-4•12（1-a）•4（1-a³）=-48（1-a）⁴＜0 （a≠1）

①当1-a＞0时，F′（x）＞0，F（x）为增函数．

∵x∈[0，1]

∴F（1）=-65∴2 ⁴-（1+a）⁴=-65

∴1+a=±3

∴a=-4或a=2（舍去）

②当1-a＜0时，F′（x）＜0，F（x）为减函数．

∴F（0）=-65，∴1⁴-a⁴=-65

∴a=

4	66

a=-

4	66

（舍去）

综上：a=

4	66

或a=-4 …（12分）