（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

①当a≥-1，因为1≤x≤e，所以x+a≥0，此时f'（x）≥0，所以f（x）在[1，e]上为增函数．

②当a≤-e时，因为1≤x≤e，所以x+a≥0，此时f'（x）≤0，此时f（x）在[1，e]上为减函数．

③当-e＜a＜-1时，令f'（x）=0得x=-a．于是当1≤x≤-a时，f'（x）≤0，所以函数f（x）在[1，-a]上为减函数．

当-a≤x≤e时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在[-a，e]上为增函数．

综上可知，当a≥-1时，f（x）在[1，e]上为增函数．当a≤-e时，f（x）在[1，e]上为减函数．

当-e＜a＜-1时，f（x）在[1，-a]上为减函数，在[-a，e]上为增函数．

（Ⅱ）由f（x）＜x，得lnx-

令g（x）=xln⁡x-x²，要使a＞xln⁡x-x² 在[1，+∞）上恒成立，只需a＞g_max⁡（x）即可．

g'（x）=lnx-2x+1=lnx-（2x-1），分别作出函数y=lnx和y=2x-1的图象如图．由图象可知当x≥1时，lnx＜2x-1．

此时g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，所以g（x）的最大值为g（1）=-1，所以a＞-1，即a的取值范围是（-1，+∞）．