（1）f（4）是f（x）的最小值

对f（x）求导，有f'（x）=

1

2

（

t

x+2

-

1

x-2

），

∴x=4时，f'（x）=0，∴

t

4+2

-

1

4-2

=0，∴t=3；

（2）f'（x）=

1

2

(

3

x+2

-

1

x-2

)=

x-4

(x+2)(x-2)

∴在x∈（3，4）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调减，在x∈（4，7）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调增

∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f（3）和f（7）的大小就可以了

∵f（3）=

3

2

ln5，f（7）=

3ln9

2

-

ln5

2

∴f（3）＞f（7），∴x=3时，f（x）在[3，7]上取得最大值，为

3

2

ln5；

（3）F′（x）=

a

x-1

-f′（x）=

a

x-1

-

x-4

(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立

∴

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立

∴（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．

下面分情况讨论（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．

当a-1＜0时，显然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．

当a-1=0时（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．

当a-1＞0时，又有两种情况：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；

②-

5

2(a-1)

≤2且（a-1）×2²+5×2-4（a+1）≥0

由①得16a²+9≤0，无解；由②得a≥-

1

4

，a-1＞0，∴a＞1

综上所述各种情况，当a≥1时（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．

∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．