∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，

∴2|ab|≤a²+b²=1，

∴-

1

2

≤ab≤

1

2

，

令y=a⁴+ab+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²+ab=-2a²b²+ab+1=-2（ab-

1

4

）²+

9

8

，

当-

1

2

≤ab≤

1

4

时，y随ab的增大而增大，

当

1

4

≤ab≤

1

2

时，y随ab的增大而减小，

故当ab=-

1

2

时，a⁴+ab+b⁴的最小值，为-2（-

1

2

-

1

4

）²+

9

8

=-2×

9

16

+

9

8

=0，

即a⁴+ab+b⁴的最小值为0，当且仅当|a|=|b|时，ab=-

1

2

，此时a=-

2

2

，b=

2

2

，或 a=

2

2

，b=-

2

2

．

故选B．