问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值-4，使其导数f'（x）＞0的x的取值范围为（1，3），求：
（1）f（x）的解析式；
（2）x∈[2，3]，求g（x）=f'（x）+6（m-2）x的最大值．
答案
（1）∵f′（x）=3ax2+2bx+c＞0的x的取值范围为（1，3），
∴
，∴b=-6a，c=9a，a＜0 -
=1+32b 3a
=1×3c 3a
∴f′（x）=3ax2-12ax+9a=3a（x2-4x+3）=3a（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得1＜x＜3；令f′（x）＜0，解得x＞3，或x＜1．
列表如下：
由表格可知：函数f（x）在x=1处取得极小值，∴f（1）=-4，即a-6a+9a=-4，解得a=-1．
∴f（x）=-x3+6x2-9x．
（2）由（1）可得：g（x）=-3x2+12x-9+6（m-2）x
=-3x2+6mx-9
=-3（x-m）2+3m2-9．
①当2≤m≤3时，函数g（x）在区间[2，3]上有：g（x）max=g（m）=-3（m2-2m2+3）=3m2-9．
②当m＜2时，g（x）在[2，3]上单调递减，∴g（x）max=g（2）=12m-21．
③当m＞3时，g（x）在[2，3]上单调递增，∴g（x）max=g（3）=18m-36．