问题 解答题
已知函数f(x)=lnx+
1-x
ax
,其中a为大于零的常数.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
答案

f′(x)=

ax-1
ax2
(x>0),

(1)由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,

即a≥

1
x
在[1,+∞)上恒成立,

又∵当x∈[1,+∞)时,

1
x
≤1,

∴a≥1,即a的取值范围为[1,+∞);

(2)当a≥1时,f′(x)>0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为增函数,

∴f(x)min=f(1)=0;

当0<a≤

1
2
,∵f′(x)<0在(1,2)上恒成立,这时f(x)在[1,2]上为减函数,

∴f(x)min=f(2)=ln2-

1
2a

1
2
<a<1时,令f′(x)=0,得x=
1
a
∈(1,2),

又∵对于x∈[1,

1
a
)有f′(x)<0,对于x∈(
1
a
,2)有f′(x)>0,

∴f(x)min=f(

1
a
)=ln
1
a
+1-
1
a

综上,f(x)在[1,2]上的最小值为

①当0<a

1
2
时,f(x)min=ln2-
1
2a

②当

1
2
<a<1时,f(x)min=ln
1
a
+1-
1
a

③当a≥1时,f(x)min=0.

单项选择题
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