问题
解答题
已知函数f（x）=lnx+
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围； （2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值． |
答案
f′（x）=
（x＞0），ax-1 ax2
（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥
在[1，+∞）上恒成立，1 x
又∵当x∈[1，+∞）时，
≤1，1 x
∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）；
（2）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）min=f（1）=0；
当0＜a≤
，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，1 2
∴f（x）min=f（2）=ln2-
；1 2a
当
＜a＜1时，令f′（x）=0，得x=1 2
∈（1，2），1 a
又∵对于x∈[1，
）有f′（x）＜0，对于x∈（1 a
，2）有f′（x）＞0，1 a
∴f（x）min=f（
）=ln1 a
+1-1 a
，1 a
综上，f（x）在[1，2]上的最小值为
①当0＜a≤
时，f（x）min=ln2-1 2
；1 2a
②当
＜a＜1时，f（x）min=ln1 2
+1-1 a
；1 a
③当a≥1时，f（x）min=0．