f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0），

（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，

即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，

又∵当x∈[1，+∞）时，

1

x

≤1，

∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）；

（2）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数，

∴f（x）_min=f（1）=0；

当0＜a≤

1

2

，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，

∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

；

当

1

2

＜a＜1时，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈（1，2），

又∵对于x∈[1，

1

a

）有f′（x）＜0，对于x∈（

1

a

，2）有f′（x）＞0，

∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

，

综上，f（x）在[1，2]上的最小值为

①当0＜a≤

1

2

时，f（x）_min=ln2-

1

2a

；

②当

1

2

＜a＜1时，f（x）_min=ln

1

a

+1-

1

a

；

③当a≥1时，f（x）_min=0．