x²+

1

x2

=2，

∴(x+

1

x

)2-2x•

1

x

=2，

∴(x+

1

x

)2=4，

∴x+

1

x

=±2，

①x+

1

x

=2时，

x³+

1

x3

=（x+

1

x

）（x²-x•

1

x

+

1

x2

）=2×（2-1）=2，

∴两边平方得：x⁶+2x³•

1

x3

+

1

x6

=4，

∴x⁶+

1

x6

=4-2=2，

x⁹+

1

x9

=（x³）³+(

1

x3

)3=（x³+

1

x3

）（x⁶-x³•

1

x3

+

1

x6

）=2×（2-1）=2，

∴

1

x

+x⁹+

1

x9

+x=2+2=4；

②x+

1

x

=-2时，同法可求

1

x

+x⁹+

1

x9

+x=-2-2=-4．

故答案为：±4．