问题
解答题
已知函数f（x）=x2-alnx．
（Ⅰ）当x=1时f（x）取得极值，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值．
答案
（I）f′(x)=2x-
，a x
∵f'（1）=0，∴a=2，
∴f(x)=x2-2lnx，f′(x)=2x-2 x
f'（x）＞0，即x＞1时，函数f（x）=x2-2lnx单调递增；
f'（x）＜0，即0＜x＜1时，函数f（x）=x2-2lnx单调递减．
综上：函数f（x）=x2-2lnx的单调递增区间为（1，+∞）；
函数f（x）=x2-2lnx的单调递减区间为（0，1）
（II）f′(x)=2x-
=a x (2x2-a) x
当a≤0时，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函数递增
∴当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1
当a＞0时，
（1）当0＜a≤2时，函数在[1，2]上递增，所以当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为4
（2）当2＜a＜8时，函数在[1，
]上递减，在[2a 2
，2]上递增；2a 2
所以当x=
时f（x）有最小值，并且最小值为2a 2 a-aln a 2 2
（3）当8≤a，函数在[1，2]上递减，所以当x=2时f（x）有最小值，并且最小值为（4-aln2）