问题
解答题
已知常数a＞0，n为正整数，fn（x）=xn-（x+a）n（x＞0）是关于x的函数．
（1）判定函数fn（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）对任意n≥a，证明f′n+1（n+1）＜（n+1）fn′（n）
答案
（1）fn（x）在（0，+∞）单调递减，理由如下：
fn′（x）=nxn-1-n（x+a）n-1=n[xn-1-（x+a）n-1]，
∵a＞0，x＞0，
∴fn′（x）＜0，
∴fn（x）在（0，+∞）单调递减．（4分）
证明：（2）由上知：当x＞a＞0时，fn（x）=xn-（x+a）n是关于x的减函数，
∴当n≥a时，有：（n+1）n-（n+1+a）n＜nn-（n+a）n（2分）
又∴f′n+1(x)=(n+1)[xn-(x+a)n]， ∴f′n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1+a)n]＜(n+1)[nn-(n+a)n] =(n+1)[nn-(n+a)(n+a)n-1](2分)
（n+1）f′n（n）=（n+1）n[nn-1-（n+a）n-1]=（n+1）[（nn-n（n+a）n-1]，（2分）
∵（n+2）＞n，
∴f′n+1（n+1）＜（n+1）f′n（n）（2分）