设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是（a-1）²+a²+（a+1）²=3a²+2，

显然，这个和被3除时必得余数2．

另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方（3b）²=9b²

（3b+1）²=9b²+6b+1，

（3b+2）²=9b²+12b+4

=（9b²+12b+3）+1

被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，

所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．