已知函数f（x）=x2+2aln（1-x）（a∈R），g（x）=f（x）-x2+

问题解答题

已知函数f（x）=x²+2aln（1-x）（a∈R），g（x）=f（x）-x²+x．
（1）当a=

时，求函数g（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a₁=1，且（n+1）a_n+1=na_n，S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：当n≥2时，S_n＜1+lnn．

答案

（1）f（x）=ln（1-x）+x，定义域为（-∞，1），g′(x)=1-

1-x

，令g'（x）=0得x=0，

可以列表，也可以直接研究g'（x）的正负，得g（x）的单调递增区间为（-∞，0）；

单调递减区间为（0，1）；x=0时g（x）有极大值0．

（2）f′(x)=2x-

1-x

，若f'（x）≥0，即2x-

1-x

≥0⇒a≤[x（1-x）]_min⇒a≤-2，

若f'（x）≤0，即2x-

1-x

≤0⇒a≥[x(1-x)]max⇒a≥

，

所以a≤-2或a≥

．

（3）证明：由（n+1）a_n+1=na_n，用累乘法得an=

，

由（1）知当x∈（0，1）时g'（x）＜0又g（0）=0，得g（x）=ln（1-x）+x＜g（0）=0，得x＜-ln（1-x）*n≥2⇒

∈(0，1)，x=

代入*得

＜ln

n-1

Sn=1+

+…+

＜1+ln

+ln

+…+ln

n-1

=1+ln(

×…×

n-1

)=1+lnn，

所以当n≥2时，S_n＜1+lnn．…（14分）