问题
解答题
| 已知函数g（x）=ax-2lnx （I）若a＞0，求函数g（x）的最小值 （Ⅱ）若函数f（x）=g（x）-
|
答案
（I）求导函数，可得g′（x）=ax-2 x
∵a＞0
∴x∈（0，
）时，g′（x）＜0；x∈（2 a
，+∞），g′（x）＞02 a
∴函数的单调递减区间为（0，
），单调递增区间为（2 a
，+∞），2 a
∴函数在x=
时，取得极小值，即为最小值，最小值为g（2 a
）=2-2ln2 a
；2 a
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，可得f′（x）=ax2-2x+a x2
①若f′（x）≥0，则ax2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥
=2x x2+2
在（0，+∞）上恒成立，∵2 x+ 1 x
≤1，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；2 x+ 1 x
②若f′（x）≤0，则ax2-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即a＜
=2x x2+2
在（0，+∞）上恒成立，∵2 x+ 1 x
＞0，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；2 x+ 1 x
综上，a≥1或a≤0．
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