已知：三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上

问题解答题

已知：三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当x＞4时，
f（x）＞x²-4x+5．
（1）求函数f （x）的解析式；
（2）若函数h(x)=

f′(x)

3(x-2)

-(m+1)ln(x+m)，求h（x）的单调区间．

答案

（1）∵f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上单增，（-1，2）上单减

∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有两根-1，2

∴

-1+2=-

-1×2=

∴

a=-

b=-6

∴f(x)=x3-

x2-6x+c…2

令g(x)=f(x)-x2-4x+5=x3-

x2-2x+c-5g′（x）=3x²-5x-2=（3x+1）（x-2）g(x)在(-∞，-

)，(2，+∞)单调增，(-

，2)单调减

故

g(4)=0

g(-

)＜0

∴c=-11

故f(x)=x3-

x2-6x-11．…5

（2）∵f′（x）=3x²-3x-6

h（x）的定义域：…6∴h（x）=x+1-（m+1）ln（x+m）（x＞-m且x≠2）…7

∴h′(x)=1-

m+1

x+m

x-1

x+m

…9

①m＞-1时，-m＜1．x∈（-m，1）2时，h'（x）＜03；x∈（1，2）∪（2，+∞）4时，h'（x）＞05

∴h（x）在（-m，1）单减；在（1，2），（2，+∞）上单增；

②-2＜m≤-1时，h'（x）＞0在定义域内恒成立，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上单增

③当m≤-2时，此时h（x）的定义域为：（-m，+∞），h（x）在（-m，+∞）上单增

综上：当m≤-2时，h（x）在（-m，+∞）上单增；

当-2＜m≤-1时，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上单增；

当m＞-1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（-m，1）单减．…12