问题
填空题
使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为______．
答案
设5×2m+1=n2 （其中n为正整数），
则5×2m=n2-1=（n+1）（n-1），
∵5×2m是偶数，
∴n为奇数，
设n=2k-1（其中k是正整数），
则5×2m=4k（k-1），
即5×2m-2=k（k-1）．
显然k＞1，
∵k和k-1互质，
∴
或 k=5×2m-2 k-1=1
或k=5 k-1=2m-2
，k=2m-2 k-1=5
解得：k=5，m=4．
因此，满足要求的整数m只有1个．
故答案为：1．
