问题
解答题
已知函数f（x）=1n（ax+1）+
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）若函数f（x）的最小值为1，求a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1n（x+1）+1-x 1+x
则f′(x)=
-1 1+x
．…（2分）2 (1+x)2
所以f′（1）=0．又f（1）=ln2，因此所求的切线方程为y=ln2．…（4分）
（Ⅱ）f′(x)=
-a ax+1
=2 (1+x)2
．…（5分）ax2+a-2 (ax+1)(1+x)2
（1）当a-2≥0，即a≥2时，因为x≥0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．…（6分）
（2）当a-2＜0，即0＜a＜2时，令f′（x）=0，则ax2+a-2=0（x≥0），所以x=
．2-a a
因此，当x∈[0，
）时，f′（x）＜0，当x∈（2-a a
，+∞）时，f′（x）＞0，．2-a a
所以函数f（x）的单调递增区间为（
，+∞），，函数f（x）的单调递减区间为[0，2-a a
）…（10分）2-a a
（Ⅲ）当a≥2时，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则f（x）的最小值为f（0）=1，满足题意．…（11分）
当0＜a＜2时，由（Ⅱ）知函数f（x）的单调递增区间为（
，+∞），函数f（x）的单调递减区间为[0，2-a a
）2-a a
则f（x）的最小值为f（
），而f（0）=1，不合题意．2-a a
所以a的取值范围是[2，+∞）．…（13分）