问题
解答题
已知函数f（x）=ax3-4x+4（a∈R）在x=2取得极值．
（Ⅰ）确定a的值并求函数的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，求实数b的取值范围．
答案
（Ⅰ）因为f（x）=ax3-4x+4（a∈R），所以f′（x）=3ax2-4
因为函数f（x）在x=2时有极值，所以f′（2）=0，即3×4a-4=0
得 a=
，经检验符合题意，所以f(x)=1 3
x3-4x+4所以f′（x）=x2-4=（x+2）（x-2）1 3
令，f′（x）=0得，x=2，或x=-2，当x变化时f′（x），f（x）变化如下表：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，2） | 2 | （2，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 单调递增↗ | 极大值 | 单调递减↘ | 极小值 | 单调递增↗ |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为f(-2)=
；28 3
当x=2时，f（x）有极小值，并且极小值为f(2)=-
；4 3
要使关于x的方程f（x）=b至多有两个零点，则b的取值范围为(-∞，-
]∪[4 3
，+∞)28 3