（1）求导数得

F'（x）=f'（x）-g'（x）=2ax-

2e

x

=

2ax2-2e

x

．（x＞0）

①当a≤0时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立

此时，F（x）在（0，+∞）上为减函数，没有最值；

②当a＞0时，解方程F'（x）=0，得x=

e a

在（0，

e a

）上F（x）为减函数，在（

e a

，+∞）上F（x）为增函数

因此F（x）在（0，+∞）上有最小值F（

e a

）=e-2eln

e a

=elna；没有最大值

综上所述，当a≤0时，F（x）没有最值；

当a＞0时，F（x）有最小值F（

e a

）=elna，没有最大值．

（2）假设存在正常数a，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，

则函数y=F（x）有且仅有一个零点

结合（1）的结论，可得只需F（x）的最小值等于0

因此有a＞0，且elna=0，解得a=1

[F（x）]_min=f（

e

）-g（

e

）=0，即f（

e

）=g（

e

）=e

∴f（x）与g（x）图象的公共点为（

e

，e）

又∵f'（

e

）=g'（

e

）=2

e

∴f（x）与g（x）的图象在（

e

，e）处有公共的切线

切线方程为y-e=2

e

（x-

e

），即y=2

e

x-e

综上所述，得存在正常数a=1，使f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，

且在该公共点处有共同的切线，公切线方程为y=2

e

x-e．