若C32+C42+C52+…+Cn2=363，则自然数n=______．

问题填空题

若C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=363，则自然数n=______．

答案

C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=363，

则1+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=364，即C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=364，

又由C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m，则C₂²+C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=C₄³+C₄²+C₅²+…+C_n²=C₅³+C₅²+C₆²+…+C_n²=C_n+1³，

原式可变形为C_n+1³=364，

化简可得

(n+1)n(n-1)

3×2×1

=364，

又由n是正整数，解可得n=13，

故答案为13．