问题
解答题
设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．
答案
（Ⅰ）f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）．
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅱ）由题设，g（x）=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2（x+3）-3x（x+2）．
当g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），
即0≥20a-24．
故得a≤
．6 5
反之，当a≤
时，对任意x∈[0，2]，g(x)≤6 5
x2(x+3)-3x(x+2)=6 5
(2x2+x-10)=3x 5
(2x+5)(x-2)≤0，3x 5
而g（0）=0，故g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）．
综上，a的取值范围为(-∞，
]．6 5