问题 解答题

已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32.

(1)求实数a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间.

答案

(1)∵f(x)=ax(x-2)2=ax3-4ax2+4ax,

∴f′(x)=3ax2-8ax+4a.

由f′(x)=0,得3ax2-8ax+4a=0.

∵a≠0,∴3x2-8x+4=0.

解得x=2或x=

2
3

∵a>0,∴x<

2
3
或x>2时,f′(x)>0;
2
3
<x<2时,f′(x)<0.

∴当x=

2
3
时,f(x)有极大值32,即
8
27
a-
16
9
a+a=32,∴a=27.

(2)∵x<

2
3
或x>2时,f′(x)>0,∴函数f(x)单调递增

2
3
<x<2时,f′(x)<0,∴函数f(x)单调递减

f(x)在(-∞,

2
3
)和(2,+∞)上是增函数,在(
2
3
,2)上是减函数.

单项选择题

阅读下面一段文字,完成下列4题。
鲁迅笔下的阿Q,对于自己进监牢并不烦恼,而以为“惟有圈而不圆,却是他‘行状’上的一个污点”。不仅如此,鲁迅用一百多字详尽描写“阿Q立志要画得圆”却未能如愿的过程,其用心又是什么
鲁迅在《阿Q正传》中并没有解答的问题却在杂文中显示了解答的钥匙。鲁迅认为,圆滑是中国国民性的特征之一,大团圆是中国小说戏曲的重要特征,甚至自然景观的欣赏也有“十景病”的圆满心理,鲁迅认为,中国的历史只有两个时代:“想做奴隶而不得的时代”和“暂时做稳了奴隶的时代”,“这一种循环,也就是‘先儒’之所谓‘一治一乱’也就是原地不动地画圆圈”
阿Q所画的圆圈,不是一个普通的圆圈,而是中国文化的象征符号。
阿Q的精神胜利法,就是国民希求圆满的象征。阿Q的地位一降再降,面对种种不幸,心理上仍能够圆满,精神上仍能够胜利,就典型而近乎夸张地突现了国民希求圆满的心态。
阿Q的“革命”是传统的画圆圈式的“革命”的翻版。阿Q式的革命即使成功了,也不过是另换了一个皇帝甚至暴君,“在自己的瓦砾中修补老例”。因此,不能简单地在阿Q革命与辛亥革命之间画上等号。
具有团圆心理的国民,只能演出一场圆圈式的革命,结尾也应该是大团圆才对,所以鲁迅为小说的最后一章命题为“大团圆”。当然,它没有重复传统小说和戏曲的大团圆,而是以具有象征意味的反语技巧,来打破大团圆。阿Q所希望画圆的圆圈,将阿Q送上了杀头示众的路。鲁迅对封建传统文化的控诉是最令人惊心动魄的,在小说中只有《狂人日记》中的古旧传统“吃人”,可以与之相比。

第二段“却在杂文中显示了解答的钥匙”这句中的“钥匙”所指的一项是:

A.阿Q式的革命

B.阿Q的精神胜利法

C.鲁迅的杂文

D.中国文化的象征符号

单项选择题