（Ⅰ）∵

m

=（x²，y-cx），

n

=（1，x+b），

m

∥

n

∴x²（x+b）=y-cx，

∴f（x）=x³+bx²+cx，f′（x）=3x²+2bx+c，

∴F（x）=f（x）+af′（x）=x³+（3a+b）x²+（2b+c）x+ac 为奇函数

∴F（-x）=-F（x），∴3a+b=0，ac=0，而a＞0，

∴

b

a

=-3，c=0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x³-3ax²，f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），

由f′（x）＜0，得0＜x＜2a，故f（x）的单调递减区间为[0，2a]，

若函数f（x）在[

a

2

，a²]上单调递减，则[

a

2

，a²]⊆[0，2a]，⇔

a＞0 a 2 ＜a2 a2＜2a

⇔

1

2

＜a＜2，

而由（Ⅰ）知b=-3a，故-6＜b＜-

3

2

．

（Ⅲ）当a=2时，由（Ⅰ）知b=-6，∴f（x）=x³-6x²，f′（x）=3x²-12x．

曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f′（x）（x-t），其中f′（x）=3t²-12t．

联立y=f（x）与y-f（t）=f′（x）（x-t），得 f（x）-f（t）=f′（x）（x-t），

∴x³-6x²-t³+6t² =（3t²-12t）（x-t），∴（x³-t³）-6（x²-t²）-（3t²-12t）（x-t）=0，

∴（x-t）（x²+tx+t²-6x-6t-3t²+12t）=0，∴（x-t）[x²+（t-6）x-t（2t-6）]=0，

∴（x-t）²（x+2t-6）=0

则x=t或x=-2t+6，而A，B不重合，则m=-2t+6，

S（t）=

1

2

|m-t|•|f（m）-f（t）|=

1

2

|6-3t|•|（6-2t）³-6（6-2t）²-t³+6t²|

=

1

2

|6-3t|•|-9t³+54t²-72t|=

27

2

|t-2|•|t（t-2）（t-4）|=

27

2

t（t-2）²（4-t），

其中t∈（0，2）∪（2，4）．

记k_PD =g（t）=

S(t)

t-4

=-

27

2

t（t-2）² =-

27

2

（t³-4t²+4t），

∴g′（t）=-

27

2

（3t²-8t+4）=-

27

2

（3t-2）（t-2），t∈（0，2）∪（2，4）．

列表如下：

t	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2	（2，4）
g′（t）	-	0	+	0	-
g（t）	↘	极小值	↗	极大值	↘

又g（0）=0，g（

2

3

）=-16，g（2）=0，g（4）=-216，

由表可知：-216＜g（t）≤0，即-216＜k_PD≤0．