问题
解答题
| 已知函数f（x）=x3-x，其图象记为曲线C． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则
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答案
（1）由f（x）=x3-x得f′（x）=3x2-1=3(x-
)(x+3 3
)，3 3
当x∈(-∞，-
)和(3 3
，+∞)时，f′（x）＞0；3 3
当x∈(-
，3 3
)时，f′（x）＜0，3 3
因此，f（x）的单调递增区间为(-∞，-
)和(3 3
，+∞)，单调递减区间为(-3 3
，3 3
)．3 3
（2）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=（3x12-1）（x-x1）+x13-x1，即
即y=（3x12-1）x-2x13，由y=(3
-1)x-2x 31 x 31 y=x3-x
解得x=x1或x=-2x1故x2=-2x1，进而有
S1=|
（x3-3x13x+2x13）dx|=∫ -2x1x1 27 4
，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x 41
x3=-2x2和S2=27 4
，又x2=-2x1≠0，所以S2≠0，因此有x 42
=S1 S2 1 16