证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2lnx，

当x∈（1，+∞）时，f′(x)=

2(x2-1)

x

＞0，

所以f（x）在（1，+∞）上是增函数．          （5分）

（Ⅱ）f′(x)=

2x2-a

x

(x＞0)，

当x∈[1，e]，2x²-a∈[2-a，2e²-a]．

若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，

所以f（x）在[1，e]上是增函数，

又f（1）=1，故函数f（x）在[1，e]上的最小值为1．

若a≥2e²，则当x∈[1，e]时，f′（x）≤0，

所以f（x）在[1，e]上是减函数，

又f（e）=e²-a，所以f（x）在[1，e]上的最小值为e²-a．

若2＜a＜2e²，则当1≤x＜

a 2

时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；

当

a 2

＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．

又f(

a 2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

，

所以f（x）在[1，e]上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

．

综上可知，当a≤2时，f（x）在[1，e]上的最小值为1；

当2＜a＜2e²时，f（x）在[1，e]上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

；

当a≥2e²时，f（x）在[1，e]上的最小值为e²-a．（13分）