问题 解答题
已知函数f(x)=x3-x2+
x
2
+
1
4
,且存在x0∈(0,
1
2
),使f(x0)=x0
(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;
(2)设x1=0,xn+1=f(xn);y1=
1
2
,yn+1=f(yn),其中n=1,2,…,证明:xn<xn+1<x0<yn+1<yn
(3)证明:
yn+1-xn+1
yn-xn
1
2
答案

(1)∵f'(x)=3x2-2x+

1
2
=3(x-
1
3
2+
1
6
>0,

∴f(x)是R上的单调增函数.

(2)∵0<x0

1
2
,即x1<x0<y1.又f(x)是增函数,

∴f(x1)<f(x0)<f(y1).即x2<x0<y2

又x2=f(x1)=f(0)=

1
4
>0=x1,y2=f(y1)=f(
1
2
)=
3
8
1
2
=y1

综上,x1<x2<x0<y2<y1

用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,上面已证明成立.

②假设当n=k(k≥1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk

当n=k+1时,

由f(x)是单调增函数,有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk),

∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1

由①②知对一切n=1,2,都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn

(3)

yn+1-xn+1
yn-xn
=
f(yn)-f(xn)
yn-xn
=yn2+xnyn+xn2-(yn+xn)+
1
2
≤(yn+xn2-(yn+xn)+
1
2

=[(yn+xn)-

1
2
]2+
1
4

由(Ⅱ)知0<yn+xn<1.

∴-

1
2
<yn+xn-
1
2
1
2

yn+1-xn+1
yn-xn
<(
1
2
2+
1
4
=
1
2

判断题
阅读理解与欣赏

阅读下面的文字,完成下面问题。

中国之美

[美]赛珍珠

  这就是中国!

  她的美是那些体现了最崇高的思想,体现了历代贵族的艺术追求的古董、古迹,这些古老的东西,也和它们的主人一样,正缓慢地发生着变化。

  这堵临街的灰色高墙,气势森严,令人望而却步。但如果你有合适的钥匙,你或许可以迈进那雅致的庭院。院内,古老的方砖铺地,几百年的脚踏足踩,砖面已被磨损了许多。一株盘根错节的松树,一池金鱼,一只雕花石凳。凳上坐着一位鹤发长者,身着白色绸袍,宝相庄严,有如得道高僧。在他那苍白、干枯的手里,是一管磨得锃亮、顶端镶银的黑木烟袋。倘若你们有交情的话,他便会站起身来,深鞠几躬,以无可挑剔的礼数陪你步入上房。二人坐在高大的雕花楠木椅子上,共品香茗;挂在墙上的丝绸卷轴古画会让你赞叹不已,空中那雕梁画栋,又诱你神游太虚。美,到处是美,古色古香,含蓄优雅。

  变化中的中国发生了一些让人伤心的事情。

  前几天,我去了一个著名的中国现代画家的画室。看着那一幅幅广告画,一幅幅俗套的健美女郎像和那用色拙劣的海上落日图,我的心直往下沉——一堆粗制滥造的油画!但是在画室的一个不显眼的角落,我发现一幅小小的水彩画。那是一条村巷,在夏日黄昏的阵雨中,弥漫着淡蓝色的雾,一些银灰色的斜线划过画面。从一座让人感到亲切的小屋的窗口,闪出微弱的烛火。一个孤零零的人手撑油伞踽踽独行,湿漉漉的石块上投下了他那摇晃的身影。

  我转过身来,对画家说:“这是最好的一幅。”

  他的脸顿时明朗起来。

  “你真这么看?我也是这样想的!这是我以前每天都看到的故乡街巷,但是,”画家叹息一声,“这是我为消遣而画的,这画不能卖掉。”

  虽然这儿的千百万为生计奔波的人们,一直都在为一口饭而终日辛劳,但我知道,无论如何,人不能仅靠植物生活。我们最需要的是那些大家都能自由享用的美——澄塘霞影,婀娜的花卉,清新的空气,可爱的大自然。

  前几天,我把我这个想法对我的中国老师讲了,他随口讲了一句:“仓廪实则知礼仪,衣食足则知荣辱。”

  我想是这样的。

  然而,我相信我的园丁昨晚美餐了一顿。当时,他在草坪上快活地干活,我则坐在竹丛下沉思。突然,一片奇异的光彩把我从沉思中惊醒,我抬头一看,西天烧起了绚丽的晚霞,令我心驰神往。

  “噢,看哪!”我喊道。

  “在哪儿?在哪儿?”园丁紧紧抓住锄把叫道。

  “在那儿。看那颜色有多美!”

  “哦,那呀!”园丁却不胜厌恶地说,弯下腰去接着修整草坪。“你那样大声喊叫,我还以为有蜈蚣爬到你身上了呢!”

  说实在的,我并不认为爱美要以填饱肚子为前提,再多的美食家也只是美食家。此外,如果我的中国老师说的那句话绝对正确,那我该怎样解释下列情况呢?那又老又聋的王妈妈,可怜的寡妇中更可怜的一个,整日里靠辛辛苦苦为人缝衣换碗饭吃,然而,她桌子上那个有缺口的瓶子里,整个夏天都插有不知她从哪儿弄来的鲜花。当我硬是送她一个碧绿的小花瓶时,她竞高兴地流出了眼泪。

  还有那个小小的烟草店。那位掉光了牙齿的老店主,整天都在快活地侍弄他的陶盆里一株不知其名的花草。我院外的那位农夫,让一片蜀葵在房子四周任其自然地长着。还有那些街头“小野孩儿”,也常常害羞地把脸贴在我门上,向我讨一束花儿。

  不,我认为每个儿童的心田里,都能播下爱美的种子。尽管困苦的生活有时会将它扼杀,但它却是永生不灭的,有时它会在那些沉思冥想的人的心田里茁壮成长,对这些人来说,即使住进皇宫与皇帝共进晚餐也远非人生之最大乐趣。他们知道自己将永远不会满足,除非他们以某种方式找到了美,找到人生之最高境界。

1.结合全文,谈谈作者如何围绕“中国之美”这一题旨逐层展开文章的?

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2.文中画线处有两处景物描写,试分析它们在描写内容、语言表达上的不同之处。

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3.阅读相关段落,回答下面问题。

(1)画家先“明朗”后“叹息”的主要原因是什么?

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(2)园丁的“快活”和“厌恶”反映出怎样的内心世界?

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4.请结合作品,分别对下面两个问题进行探究。

(1)“仓廪实则知礼仪,衣食足则知荣辱。”这句话作者显然并不完全同意,请结合全文举例说明作者怎样看待物质与审美的关系。

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(2)文末说“除非他们以某种方式找到了美”,你认为可以有哪些方式?

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