（1）∵f'（x）=3x²-2x+

1

2

=3（x-

1

3

）²+

1

6

＞0，

∴f（x）是R上的单调增函数．

（2）∵0＜x₀＜

1

2

，即x₁＜x₀＜y₁．又f（x）是增函数，

∴f（x₁）＜f（x₀）＜f（y₁）．即x₂＜x₀＜y₂．

又x₂=f（x₁）=f（0）=

1

4

＞0=x₁，y₂=f（y₁）=f（

1

2

）=

3

8

＜

1

2

=y₁，

综上，x₁＜x₂＜x₀＜y₂＜y₁．

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，上面已证明成立．

②假设当n=k（k≥1）时有x_k＜x_k+1＜x₀＜y_k+1＜y_k．

当n=k+1时，

由f（x）是单调增函数，有f（x_k）＜f（x_k+1）＜f（x₀）＜f（y_k+1）＜f（y_k），

∴x_k+1＜x_k+2＜x₀＜y_k+2＜y_k+1

由①②知对一切n=1，2，都有x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n．

（3）

yn+1-xn+1

yn-xn

=

f(yn)-f(xn)

yn-xn

=y_n²+x_ny_n+x_n²-（y_n+x_n）+

1

2

≤（y_n+x_n）²-（y_n+x_n）+

1

2

=[（y_n+x_n）-

1

2

]²+

1

4

．

由（Ⅱ）知0＜y_n+x_n＜1．

∴-

1

2

＜y_n+x_n-

1

2

＜

1

2

，

∴

yn+1-xn+1

yn-xn

＜（

1

2

）²+

1

4

=

1

2