问题 解答题
已知函数f(x)=x3-x2+
x
2
+
1
4
,且存在x0∈(0,
1
2
),使f(x0)=x0
(1)证明:f(x)是R上的单调增函数;
(2)设x1=0,xn+1=f(xn);y1=
1
2
,yn+1=f(yn),其中n=1,2,…,证明:xn<xn+1<x0<yn+1<yn
(3)证明:
yn+1-xn+1
yn-xn
1
2
答案

(1)∵f'(x)=3x2-2x+

1
2
=3(x-
1
3
2+
1
6
>0,

∴f(x)是R上的单调增函数.

(2)∵0<x0

1
2
,即x1<x0<y1.又f(x)是增函数,

∴f(x1)<f(x0)<f(y1).即x2<x0<y2

又x2=f(x1)=f(0)=

1
4
>0=x1,y2=f(y1)=f(
1
2
)=
3
8
1
2
=y1

综上,x1<x2<x0<y2<y1

用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,上面已证明成立.

②假设当n=k(k≥1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk

当n=k+1时,

由f(x)是单调增函数,有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk),

∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1

由①②知对一切n=1,2,都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn

(3)

yn+1-xn+1
yn-xn
=
f(yn)-f(xn)
yn-xn
=yn2+xnyn+xn2-(yn+xn)+
1
2
≤(yn+xn2-(yn+xn)+
1
2

=[(yn+xn)-

1
2
]2+
1
4

由(Ⅱ)知0<yn+xn<1.

∴-

1
2
<yn+xn-
1
2
1
2

yn+1-xn+1
yn-xn
<(
1
2
2+
1
4
=
1
2

单项选择题

阅读下面的文言文,完成后面的问题。

王霸字元伯,颍川颍阳人也。汉兵起,光武过颍阳,遂从击破王寻、王邑于昆阳。及光武为大司马,以霸为功曹令史,从度河北。宾客从霸者数十人.稍稍引去。光武谓霸曰:“颍川从我者皆逝,而子独留。努力!疾风知劲草。”及王郎起,光武在蓟,郎移檄购光武。光武即南驰至下曲阳。传闻王郎兵在后,从者皆恐。既至信都,发兵攻拨邯郸。霸追斩王郎,得其玺绶。封王乡侯。从平河北,常与臧宫、傅俊共营,霸独善抚士卒,死者脱衣以敛之,伤者躬亲以养之。光武即位,以霸晓兵爱士,可独任,拜为偏 * * 。

四年秋,帝幸谯,使霸与捕虏 * * 马武东讨周建于垂惠。苏茂将五校兵四千余人救建,武恃霸之援,战不甚力,为茂、建所败。武军奔过霸营,大呼求救。霸曰:“贼兵盛,出必两败,努力而已。”乃闭营坚壁。军吏皆争之。霸曰:“茂兵精锐,其众又多,吾吏士心恐,而捕虏与吾相恃,两军不一,此败道也。今闭营固守,示不相援,贼必乘胜轻进;捕虏无救,其战自倍。如此,茂众疲劳,吾承其弊,乃可克也。”茂、建果悉出攻武。合战良久,霸军中壮士路润等数十人断发请战。霸知士心锐,乃开后营,出精骑袭其背。茂、建前后受敌,惊乱败走,霸、武各归营。贼复聚众挑战,霸坚卧不出,方飨士作倡乐。茂雨射营中,中霸前酒樽,霸安坐不动。军吏皆曰:“茂前日已破,今易击也。”霸日:“不然。苏茂客兵远来,粮食不足,故数挑战,以侥一切之胜。今闭营休士,所谓不战而屈人之兵,善之善者也。”茂、建既不得战,乃引还营。十三年,增邑户,更封向侯。三十年,定封淮陵侯。永平二年,以病免,后数月卒。

(《后汉书·王霸传》,有删节)

以下各组句子中,分别表明王霸“善抚士卒”和“有谋略”的一组是()。

A.A

B.B

C.C

D.D

判断题