问题
解答题
定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对称且过点（3，-6），函数f（x）在点x1、x2处取得极值，且|x1-x2|=4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）过点P（1，-8）的切线方程．
答案
（I）由题意f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解之得b=d=0
所以f（x）=ax3+cx，又f（3）=27a+3c=-6 ①
由f′（x）=3ax2+c=0，得x1=-
，x2=- c 3a - c 3a
即
=2，c=-12a ②- c 3a
由①②得a=
，c=-82 3
故f（x）=
x3-8x 2 3
（II）由（I）知，f′（x）=2x2-8，
当f′（x）＞0时，解得x＜-2或x＞2；
当f′（x）＜0时，解得-2＜x＜2．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）．
（III）设切点Q（x0，y0），则点Q处的切线方程为：y-y0=(
-8)(x-x0) ③2x 20
注意到y0=2 3
-8x0及点P（1，-8）在此切线上，x 30
有-8-2 3
+8x0=(x 30
-8)(1-x0)，2x 20
整理得：2
-3x 30
=0，即x0=0或x0=x 20 3 2
代入方程③得8x+y=0或7x+2y+9=0为所求．