已知向量m=(ex，lnx+k)，n=(1，f(x))，m∥n（k为常数，e是自

问题解答题

已知向量

=(ex，lnx+k)，

=(1，f(x))，

∥

（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe^xf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数g（x）=-x²+2ax（a为正实数），若对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求实数a的取值范围．

答案

（I）由已知可得：f（x）=

1nx+k

，

∴f′(x)=

-lnx-k

，

由已知，f′(1)=

1-k

=0，

∴k=1…（2分）

∴F（x）=xe^xf'（x）=x(

-lnx-1)=1-xlnx-x，

所以F'（x）=-lnx-2…（3分）

由F′(x)=-lnx-2≥0⇒0＜x≤

，

由F′(x)=-lnx-2≤0⇒x≥

∴F（x）的增区间为(0，

]，减区间为[

，+∞)…（5分）

（II）∵对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），

∴g（x）_max＜F（x）_max…（6分）

由（I）知，当x=

时，F（x）取得最大值F(

)=1+

．…（8分）

对于g（x）=-x²+2ax，其对称轴为x=a

当0＜a≤1时，g(x)max=g(a)=a2，

∴a2＜1+

，从而0＜a≤1…（10分）

当a＞1时，g（x）_max=g（1）=2a-1，

∴2a-1＜1+

，从而1＜a＜1+

2e2

…（12分）

综上可知：0＜a＜1+

2e2

…（13分）