已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，（其中a＞0），点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）求证：△ABC是钝角三角形；
（Ⅲ）试问△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．
（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，∴f′(x)=
-(a+1)=aex 1+ex
＜0恒成立，-(a+1)-ex 1+ex
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数．（3分）
（Ⅱ）证明：据题意A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，
由（Ⅰ）知f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
（4分）x1+x3 2
可得A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线
（反证法：否则2ex2=ex1+ex3≥2
=2ex2，得x1=x3）ex1+x3
∴
=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，BA
=(x3-x2，f(x3)-f(x2)BC
∴
•BA
=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)][f(x3)-f(x2)]（6分）BC
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
•BA
＜0，∴∠B∈(BC
，π)π 2
即△ABC是钝角三角形（8分）
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是|
|=|BA
|BC
即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2∵x2-x1=x3-x2∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2
即2f（x2）=f（x1）+f（x3）⇔2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-(a+1)(x1+x3)⇔2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-2(a+1)x2⇔2ln(1+ex2)=ln(1+ex1)(1+ex3)⇔(1+ex2)2=(1+ex1)(1+ex3)⇔e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3⇔2ex2=ex1+ex3①（11分）
而事实上，ex1+ex3≥2
=2ex2②ex1+x3
由于ex1＜ex3，故（2）式等号不成立．这与（1）式矛盾．
所以△ABC不可能为等腰三角形．（13分）