问题
解答题
已知函数f（x）=x3-ax2-3x
（1）当a=2时，求f（x）的零点；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的[1，a]上的最小值和最大值；
（3）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
答案
（1）f（x）=x3-2x2-3x=x（x-3）（x+1）
则f（x）的零点为0，3，-1．
（2）f′（x）=3x2-2ax-3
∵x=3是f（x）的极值点，得到f′（3）=0，
∴a=4 则函数f（x）=x3-4x2-3x
即f′（x）=3x2-8x-3=（3x+1）（x-3）
∴f（x）在[
，3]递减，[3，+∞）递增1 3
f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12
∴最小值为-18，最大值为-6
（3）f′（x）=3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立．
∵x≥1．∴a≤
（x-3 2
），1 x
当x≥1时，由于g（x）=
（x-3 2
）是增函数，g（x）min=1 x
（1-1）=0．3 2
∴a≤0．