（1）函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)递增函数，证明如下：

设x＜y，则x-y＜0，f(x)-f(y)=

(a-b)(ax-y-bx-y)ayby

(ax+bx)(ay+by)

，

①当a=b时，f（x）为常数函数，此时不单调．

②若a＞b，则a-b＞0，a^x-y＜b^x-y，a^x-y-b^x-y＜0，所以f（x）＜f（y），

此时函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)递增函数．

③当a＜b，则a-b＜0，a^x-y＞b^x-y，a^x-y-b^x-y＞0，所以f（x）＜f（y），

此时函数f(x)=

ax+1+bx+1

ax+bx

(x∈R)递增函数．

（2）

a2+b2

a+b

-

ab

=

a2+b2-a ab -b ab

a+b

=

a2+b2-a 3 2 b 1 2 -a 1 2 b 3 2

a+b

=

(a 3 2 -b 3 2 )(a 1 2 -b 1 2 )

a+b

，

因为幂函数x

3

2

，x

1

2

在（0，+∞）上单调递增，具有相同的单调性．

所以当a=b时，

a2+b2

a+b

=

ab

．

当a≠b时，

a2+b2

a+b

＞

ab

．