问题
解答题
| 设函数f（x）=px-2lnx． （1）若p＞0，求函数f（x）的最小值； （2）若函数g（x）=f（x）-
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答案
（1）∵f′（x）=p-
=2 x
，令f′（x）=0，得x=px-2 x
．2 p
∵p＞0，列表如下，
从上表可以得，当x=
时，f（x）有极小值2-2ln2 p
．（4分）2 p
又此极小值也为最小值，所以当x=
时，f（x）有最小值2-2ln2 p
．（5分）2 p
（2）因为g（x）=f（x）-
=px-p x
-2lnx，则g′（x）=p+p x
-p x2
=2 x
，px2-2x+p x2
由函数g（x）=f（x）-
在其定义域内为单调函数得，g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立或g′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立．p x
①当p=0时，g′（x）=-
＜0对x∈（0，+∞）恒成立（7分）2 x
此时g（x）在其定义域内为减函数，满足要求．
②当p＞0时，g′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立得px2-2x+p≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即p≥
对x∈（0，+∞）恒成立，2x x2+1
∵当x∈（0，+∞）时，
=2x x2+1
≤1，2 x+ 1 x
∴p≥1（9分）
③当p＜0时，g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立得px2-2x+p≤0对x∈（0，+∞）恒成立，即p≤
对x∈（0，+∞）恒成立，2x x2+1
∵当x∈（0，+∞）时，
＞0，2x x2+1
∴p≤0；
又∵p＜0，
∴此时p＜0．（11分）
综上所述，P的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）．．（12分）