问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为
（1）求a，b，c的值； （2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值． |
答案
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b，
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①
当x=
时，y=f（x）有极值，则f′（2 3
）=0，即4a+3b+4=0②2 3
联立①②解得a=2，b=-4．
设切线l的方程为y=3x+m，
由原点到切线l的距离为
，10 10
则=
=|m| 32+1 10 10
解得m=±1．
∵切线l不过第四象限，∴m=1，
由于切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，∴c=5．
故a=2，b=-4，c=5．
（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2-4x+5，
∴f′（x）=3x2+4x-4．
令f′（x）=0，得x=-2，x=
．2 3
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表：
| x | [-3，-2） | -2 | （-2，
|
| （
| ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
在x=
处取得极小值f（2 3
）=2 3
．95 27
又f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13，最小值为
．95 27