（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），

因为f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，

由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0，由f′（x）＜0得x＜-2或-1＜x＜0．

∴函数的递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．

（2）由f′（x）=

2x(x+2)

x+1

=0得x=0或x=-2．由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．

又f（

1

e

-1）=

1

e2

+2，f（e-1）=e²-2，

∴e2-2-

1

e2

-2=

(e2-2)2-5

e2

＞0

∴e²-2＞

1

e2

+2．所以x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=e²-2．故m＞e²-2时，不等式f（x）＜m恒成立．

（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．

所以g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

．

由g′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．

所以g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，

为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，∴

-a+1≥0 1-a+1-2ln2＜0 2-a+1-2ln3≥0

，

∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．