对于A，设a、b是正方体上底面内的两条直线，

而α是正方体下底面所在的平面，则有a∥α且b∥α，

但直线a、b可能是相交直线，不一定有a∥b．因此，A项不正确；

对于B，设α、β分别为正方体上、下底面所在的平面，

直线a⊂β、b⊂α，则有a∥α、b∥β且α∥β，

因为分别位于正方体上、下底面的直线b、a可能是异面直线

因此不一定有a∥b成立，故B项不正确；

对于C，因为α⊥β且a⊥α，所以a∥β或a⊂β

根据A的讨论，可得无论是a∥β，还是a⊂β，

都不能由b∥β推出a∥b，故C项不正确；

对于D，因为a⊥α且α∥β，所以a⊥β

再由b⊥β且a⊥β，可得a∥b成立，故D项正确

故选：D