问题
解答题
| 设a为实常数，函数f（x）=-x3+ax2-4． （1）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为
（2）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范围． |
答案
（1）f′（x）=-3x2+2ax．根据题意f′（1）=tan
=1，π 4
∴-3+2a=1，即a=2．∴f′（x）=-3x2+4x=-3x(x-
)．4 3
当f′（x）＞0，得x(x-
)＜0，即0＜x＜4 3
；当f′（x）＜0，得x(x-4 3
)＞0，即x＜0或x＞4 3
．4 3
∴f′（x）的单调递增区间是(0，
)，单调递减区间是（-∞，0）∪(4 3
，+∞)；4 3
（2）f′（x）=-3x(x-
)．2a 3
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，从而f（x）在（0，+∞）上是减函数，
又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴当a≤0时，不存在x0＞0，使f（x0）＞0；
②当a＞0，则当0＜x＜
时，f′（x）＞0，当x＞2a 3
时，f′（x）＜0．2a 3
从而f（x）在(0，
)上单调递增，在(2a 3
，+∞)上单调递减．2a 3
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）max=f(
)=-2a 3
+8a3 27
-4=4a3 9
-4．4a3 27
据题意，
-4＞0，即a3＞27，∴a＞3．4a3 27
故a的取值范围是（3，+∞）．