已知函数f（x）=x3+ax2+b（a∈R，b∈R）（Ⅰ）若a＞0，且f（x）的

问题解答题

已知函数f（x）=x³+ax²+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）若 a＞0，且f（x）的极大值为5，极小值1，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-

）上是增函数，求a的取值范围．

答案

（I）∵f（x）=x³+ax²+b，所以f'（x）=3x²+2ax，由f'（x）=3x²+2ax=0，解得x=0或x=-

，

因为 a＞0，所以x=-

＜0，

当f'（x）＞0时，解得x＜-

或x＞0，此时函数单调递增．

当f'（x）0时，解得-

＜x＜0，此时函数单调递减．

所以当x=-

时，函数取得极大值，当x=0时，函数取得极小值．

即f(-

)=-(-

)3+a(-

)2+b=5，f（0）=b=1，

解得a=3，b=1．

∴所求的函数解析式是f（x）=-x³+3x²+1．…（6分）

（II）由上问知当x=0或x=-

时，f'（x）=0．

①当a＞0时，x=-

＜0．函数f（x）在（-∞，-

）和（0，+∞）上是单调递增函数，在（-

，0）上是单调递减函数．

∴若f（x）在（-∞，-

）上是增函数，则必有-

≤-

，解得0＜a≤

．

②当a＜0时，-

＞0．函数f（x）在（-∞，0）和（-

，+∞）上是单调递增函数，

在（0，-

）上是单调递减函数．显然满足f（x）在（-∞，-

）上是增函数．

③当a=0时，-

=0．函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数，

也满足f（x）在（-∞，-

）上是增函数．

∴综合上述三种情况，所求a的取值范围为(-∞，

]．…（12分）