（1）证明：令

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

=0．

得△=[-(m-3)]2-4×

1

2

×

5-4m

2

=m²-2m+4=（m-1）²+3．

∵不论m为任何实数，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0．

∴不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．

x=-

-(m-3)

2× 1 2

=m-3．

（2）抛物线y=

1

2

x2-(m-3)x+

5-4m

2

的对称轴为：x=m-3，

∵抛物线上两个不同点A（n-3，n²+2）、B（-n+1，n²+2）的纵坐标相同，

∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，则m-3=

(n-3)+(-n+1)

2

=-1．

∴m=2．

∴抛物线的解析式为y=

1

2

x2+x-

3

2

．   

∵A（n-3，n²+2）在抛物线y=

1

2

x2+x-

3

2

上，

∴

1

2

(n-3)2+(n-3)-

3

2

=n2+2．

化简，得n²+4n+4=0．

∴n=-2．　　

（3）当2＜x＜3时，

对于y=

1

2

x2+x-

3

2

，y随着x的增大而增大，

对于y=

k

x

(k＞0，   x＞0)，y随着x的增大而减小．

所以当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数图象上方，

得

k

2

＞

1

2

×22+2-

3

2

，

解得：k＞5．

当x₀=3时，由二次函数图象在反比例函数图象上方，

得

1

2

×32+3-

3

2

＞

k

3

，

解得k＜18．

所以k的取值范围为：5＜k＜18．