（I）∵f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c

∴f′（x）=3x²-x-2

∴方程f′（x）=3x²-x-2=0的两个根为-

2

3

和1，

∵当-

2

3

＜x＜1时，f′(x)＜0

当x＞1时，f′（x）＞0，

∴当x=1时，f（x）取得极小值．

 （II）由（I）知：f′（x）=3x²-x-2

∵当x∈[-1，-

2

3

）时，f′（x）＞0，

当x∈(-

2

3

，1)时，f′（x）＜0，

当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，

∴当x∈[-1，-

2

3

）时，f（x）是增函数．

当x∈(-

2

3

，1)时，f（x）是减函数．

当x∈（1，2]时，f（x）是增函数．

所以当-≤x≤2时，f（x）的最大值只可能在x=-

2

3

或者在x=2处取到．

又因为f（-

2

3

）=

22

27

+c，f（2）=2+c

所以f（2）＞f（-

2

3

）

所以当-1≤x≤2时，f（x）的最大值为f（2）=2+c．

（III）当-1≤x≤2时，f（x）＜c²恒成立的充要条件是f（x）_最大值＜c²

所以f（2）＜c²即c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2．

所以c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．