问题
解答题
A﹑B﹑C是直线l上的三点，向量
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式； （Ⅱ）若x＞0，证明f（x）＞
（Ⅲ）当
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答案
（I）由三点共线知识，
∵
-[y+2f′(1)]OA
+ln(x+1)OB
=OC
，∴0
=[y+2f′(1)]OA
-ln(x+1)OB
，OC
∵A﹑B﹑C三点共线，
∴[y+2f'（1）]+[-ln（x+1）]=1
∴y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1）．
∴f′(x)=
∴f′(1)=1 x+1
，1 2
∴f（x）=ln（x+1）…4分
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-
，2x x+2
由g′(x)=
，x2 (x+1)(x+2)2
∵x＞0，∴g'（x）＞0
∴g（x）在 （0，+∞）上是增函数，
故g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞
；…8分2x x+2
（III）原不等式等价于
x2-f(x2)≤m2-2bm-3，令1 2
h（x）=
x2-f(x2)=1 2
x2-ln(1+x2)，由h′(x)=1 2
，x3-x 1+x2
当x∈[-1，1]时，[h（x）]max=0，
∴m2-2bm-3≥0，
令Q（b）=m2-2bm-3，要使b∈[-1，1]恒成立，则有Q（1）≥0及Q（-1）≥0
即
，解得m≤-3或m≥3．…12分．m2-2m-3≥0 m2+2m-3≥0