解∵一元三次函数f（x）的三次项系数为

a

3

，

设f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d，∴f'（x）=ax²+2bx+c

∵f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x＜0的解集为（1，2），

∴f′（x）+9x=ax²+2bx+c+9x=a（x-1）（x-2）＜0

b=-

9+3a

2

，c=2a（a＞0）

（1）由上f'（x）+7a=ax²-（9+3a）x+9a=0成立

∴△=（9+3a）²-36a²≥0

∴-1≤a≤3又因为a＞0∴0＜a≤3

∴f′（x）=ax²-（9+3a）x+2a（0＜a≤3）

（2）∵f（x）在R上单调增，

∴f'（x）=ax²-（9+3a）x+2a≥0在R上恒成立

∴△=（9+3a）²-8a²=a²+54a+81≤0

∴-27-18

2

 ≤a≤-27+18

2

又因为a＞0∴0＜a≤-27+18

2