（1）f′（x）=-x²+x+2a

f（x）在(

2

3

，+∞)存在单调递增区间

∴f′（x）＞0在(

2

3

，+∞)有解

∵f′（x）=-x²+x+2a对称轴为x=

1

2

∴f′(x)=-x2+x+2a在(

2

3

，+∞)递减

∴f′(x)＜f′(

2

3

)=

2

9

+2a＞0

解得a＞-

1

9

．

（2）当0＜a＜2时，△＞0；

f′（x）=0得到两个根为

-1- 1+8a

-2

；

-1+ 1+8a

-2

（舍）

∵

-1- 1+8a

-2

∈[1，4]

∴1＜x＜

-1- 1+8a

-2

时，f′（x）＞0；

-1- 1+8a

-2

＜x＜4时，f′（x）＜0

当x=1时，f（1）=2a+

1

6

；当x=4时，f（4）=8a-

40

3

＜f（1）

当x=4时最小∴8a-

40

3

=-

16

3

解得a=1

所以当x=

-1- 1+8a

-2

=2时最大为

10

3