问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)若f(x)在x=1处取得极大值,求函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的方程f(x)=
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答案
(1)f′(x)=x2-(m+1)x,…(1分)
则由题意,f(x)在x=1处取得极大值
∴f′(1)=12-(m+1)×1=0,即m=0.…(2分)
∴f(x)=
x3-1 3
x2,f′(x)=x2-x.1 2
由f′(x)=x2-x=0,解得x=0或x=1.
令f′(x)>0,得x<0或x>1;令f′(x)<0,得0<x<1.
∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(1,+∞),单调递减区间是(0,1).…(5分)
(2)设g(x)=f(x)+mx-
=1 3
x3-1 3
x2+mx-m+1 2
,1 3
则g′(x)=x2-(m+1)x+m=(x-m)(x-1).
令g′(x)=0,得x=m或x=1.
①当m=1时,g′(x)=(x-1)2≥0,g(x)在R上单调递增,不合题意.…(7分)
…(9分)
因为方程f(x)=
-mx(m≤1)有三个不同的根,即函数g(x)=f(x)+mx-1 3
与x轴有三个不同的交点,所以1 3
…(10分)-
+m3 6
-m2 2
>01 3
<0m-1 2
解得m<1-
.…(12分)3
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,1-
). …(13分)3