问题 解答题
已知函数f(x)=
1
3
x3-
m+1
2
x2(x∈R).
(1)若f(x)在x=1处取得极大值,求函数f(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程f(x)=
1
3
-mx(m≤1)有三个不同的根,求实数m的取值范围.
答案

(1)f′(x)=x2-(m+1)x,…(1分)

则由题意,f(x)在x=1处取得极大值

∴f′(1)=12-(m+1)×1=0,即m=0.…(2分)

∴f(x)=

1
3
x3-
1
2
x2,f′(x)=x2-x.

由f′(x)=x2-x=0,解得x=0或x=1.

令f′(x)>0,得x<0或x>1;令f′(x)<0,得0<x<1.

∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(1,+∞),单调递减区间是(0,1).…(5分)

(2)设g(x)=f(x)+mx-

1
3
=
1
3
x3-
m+1
2
x2+mx-
1
3

则g′(x)=x2-(m+1)x+m=(x-m)(x-1).

令g′(x)=0,得x=m或x=1.

①当m=1时,g′(x)=(x-1)2≥0,g(x)在R上单调递增,不合题意.…(7分)

  …(9分)

因为方程f(x)=

1
3
-mx(m≤1)有三个不同的根,即函数g(x)=f(x)+mx-
1
3
与x轴有三个不同的交点,所以
-
m3
6
+
m2
2
-
1
3
>0
m-1
2
<0
            …(10分)

解得m<1-

3
.…(12分)

综上所述,实数m的取值范围是(-∞,1-

3
).  …(13分)

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