（1）f'（x）=lnx+1，当x∈(0，

1

e

)，f'（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈(

1

e

，+∞)，f'（x）＞0，f（x）单调递增．

①0＜t＜t+2＜

1

e

，t无解；

②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；

③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；

∴f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e tlnt，t≥ 1 e

．

（2）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，

设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，

x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，

所以h（x）_min=h（1）=4

因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）_min=4；

（3）问题等价于证明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，

由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到

设m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，易得m(x)max=m(1)=-

1

e

，

当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．