（1）f′（x）=3（x²-a²）=3（x-a）（x+a），

由f′（x）=0，得x₁=a，x₂=-a，

∴a＞0，∴x₁＞x₂，

当0＜a＜1，x∈[0，1]时，由f′（x）≥0，得a≤x≤1，所以f（x）在[a，1]上为增函数，

由f′（x）≤0，得0≤x≤a，所以f（x）在[0，a]上为减函数．

当a≥1，x∈[0，1]时，由f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在[0，1]上为减函数．

综上所述，当0＜a＜1时，f（x）在[a，1]上为增函数，在[0，a]上为减函数．当a≥1时，f（x）在[0，1]上为减函数．

（2）设当x∈[0，1]时，f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，若存在实数a≥1，则必有A⊆B，

当a≥1时，f（x）在[0，1]上为减函数，所以f（x）max=f（0）=-2a，f（x）min=f（1）=1-3a²-2a，即A=[1-3a²-2a，-2a]，

又g′（x）=

-4x2+16x-7

(2-x)2

，令g′（x）＞0得

1

2

＜x＜

7

2

，令g′（x）＜0得x＜

1

2

，或x＞

7

2

，

所以g（x）min=f（

1

2

）=-4，又g（0）=-

7

2

，g（1）=-3，所以g（x）max=-3，从而B=[-4，-3]，

由A⊆B得，

1-3a2-2a≥-4 -2a≤-3

，即

- 5 3 ≤a≤1 a≥ 3 2

，不等式无解，

所以不存在实数a≥1满足题意．