问题 解答题
已知函数f(x)=x3+ax2+bx.
(1)若函数y=f(x)在x=2处有极值-6,求y=f(x)的单调递减区间;
(2)若y=f(x)的导数f′(x)对x∈[-1,1]都有f′(x)≤2,求
b
a-1
的范围.
答案

(1)f′(x)=3x2+2ax+b

依题意有

f′(2)=0
f(2)=-6
12+4a+b=0
8+4a+2b=-6.
解得
a=-
5
2
b=-2

∴f′(x)=3x2-5x-2

由f′(x)<0,即(3x+1)(x-2)<0,解得-

1
3
<x<2

∴y=f(x)的单调递减区间是:(-

1
3
,2);

(2)由

f′(-1)=3-2a+b≤2
f′(1)=3+2a+b≤2
2a-b-1≥0
2a+b+1≤0.

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:

2a-b-1=0
2a+b+1=0
a=0
b=-1.
∴Q点的坐标为(0,-1).

z=

b
a-1
,则z表示平面区域内的点(a,b)与点P(1,0)连线斜率.

∵KPQ=1,由图可知z≥1或z≤-2,

b
a-1
∈(-∞,-2]∪[1,+∞)

单项选择题
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