问题
解答题
已知函数f(x)=x3+ax2+bx. (1)若函数y=f(x)在x=2处有极值-6,求y=f(x)的单调递减区间; (2)若y=f(x)的导数f′(x)对x∈[-1,1]都有f′(x)≤2,求
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答案
(1)f′(x)=3x2+2ax+b
依题意有
即f′(2)=0 f(2)=-6
解得12+4a+b=0 8+4a+2b=-6. a=- 5 2 b=-2
∴f′(x)=3x2-5x-2
由f′(x)<0,即(3x+1)(x-2)<0,解得-
<x<21 3
∴y=f(x)的单调递减区间是:(-
,2);1 3
(2)由
得f′(-1)=3-2a+b≤2 f′(1)=3+2a+b≤2 2a-b-1≥0 2a+b+1≤0.
不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示:
由
得2a-b-1=0 2a+b+1=0
∴Q点的坐标为(0,-1).a=0 b=-1.
设z=
,则z表示平面区域内的点(a,b)与点P(1,0)连线斜率.b a-1
∵KPQ=1,由图可知z≥1或z≤-2,
即
∈(-∞,-2]∪[1,+∞)b a-1