（1）f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，

因为f（x）在其定义域内的单调递增函数，

所以f'（x）在（0，+∞）内满足f'（x）≥0恒成立，

即kx²-2x+k≥0对x∈（0，+∞）恒成立，

亦即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

对x∈(0，+∞)恒成立，∴k≥(

2

x+ 1 x

)max即可

又x∈(0，+∞)时，

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤

2

2

=1，

当且仅当x=

1

x

，即x=1时取等号，∴使函数f（x）在其定义域内为单调增函数的实数k的取值范围是[1，+∞）．

（2）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，

设F(x)=f(x)-g(x)=kx-

k

x

-2lnx-

2e

x

，则F′(x)=k+

k

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

kx2+k-2x+2e

x2

＞0，

∴F（x）为[1，e]上的增函数，F（x）_max=F（e），

依题意需F(e)=ke-

k

e

-4＞0，解得k＞

4e

e2-1

∴实数k的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．