问题 解答题

已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.

(1)证明E,F,G,H四点共面;

(2)证明BD平面EFGH.

答案

如图,连结EG,BG.

(1)∵BG是△BCD的中线,可得

BG
=
1
2
BC
+
BD

EG
=
EB
+
BG
=
EB
+
1
2
BC
+
BD

BF
=
1
2
BC
EH
=
1
2
BD

EG
=
EB
+
BF
+
EH
=
EF
+
EH

根据向量共面的充要条件,得

可得E,F,G,H四点共面.

(2)∵

EH
=
EA
+
AH
EH
=
EG
+
GH

BD
=
BA
+
AD
=2
EA
+2
AH
=2
EH
=2(
EG
+
GH
)=2
EG
+2
GH

结合

EG
GH
不共线,可得
BD
EG
GH
共面.

又∵BD?面EFGH,∴BD面EFGH.

单项选择题
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