问题
解答题
已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）证明E，F，G，H四点共面；
（2）证明BD∥平面EFGH．
答案
如图，连结EG，BG．
（1）∵BG是△BCD的中线，可得
=BG
（1 2
+BC
）BD
∴
=EG
+EB
=BG
+EB
（1 2
+BC
）BD
∵
=BF 1 2
，BC
=EH 1 2 BD
∴
=EG
+EB
+BF
=EH
+EF
，EH
根据向量共面的充要条件，得
可得E，F，G，H四点共面．
（2）∵
=EH
+EA
，AH
=EH
+EG GH
∴
=BD
+BA
=2AD
+2EA
=2AH
=2（EH
+EG
）=2GH
+2EG
，GH
结合
，EG
不共线，可得GH
与BD
，EG
共面．GH
又∵BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH．