（1）由题知，f'（x）=3x²-2ax-3，令f'（x）＞0（x≥2），得a＜

3

2

(x-

1

x

)．

记t(x)=

3

2

(x-

1

x

)，当x≥2时，t（x）是增函数，∴t(x)min=

3

2

×(2-

1

2

)=

9

4

，∴a＜

9

4

，又a=

9

4

时，f′(x)=3x2-

9

2

x-3=3(x-

3

4

)2-

75

16

在[2，+∞）上恒大于等于0，∴a=

9

4

也符合题意，∴a≤

9

4

．

（2）由题意，得f'（3）=0，即27-6a-3=0，∴a=4，∴f（x）=x³-4x²-3x，f'（x）=3x²-8x-3．

令f'（x）=0，得x1=-

1

3

，x2=3，

又∵x∈[1，4]，∴x=-

1

3

舍，故x=3，

当x∈（1，3），f'（x）＜0，∴f（x）在（1，3）上为减函数；

当x∈（3，4），f'（x）＞0，∴f（x）在（3，4）上为增函数，∴x=3时f（x）有极小值．

于是，当x∈[1，4]时，f（x）_min=f（3）=-18，

而f（1）=-6，f（4）=-12，∴f（x）_max=f（1）=-6．