问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求函数f（x）的单调区间； （2）若关于x的不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求实数m的取值范围； （3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使ab=ba．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请写出a的取值范围（不需要解答过程）． |
答案
（1）定义域为（0，+∞），f′(x)=
，令f′(x)=1-lnx x2
=0，则x=e，1-lnx x2
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
∴f（x）的单调递增区间为（0，e）；f（x）的单调递减区间为（e，+∞）．（4分）
（2）∵不等式lnx＜mx对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴分离m得，m＞
对一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，lnx x
∴下面即求f(x)=
在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；lnx x
∵a＞0，由（2）知：f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
当2a≤e时，即0＜a≤
时，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f(x)max=f(2a)=e 2
；ln2a 2a
当a≥e时，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f(x)max=f(a)=
；lna a
当a＜e＜2a时，即
＜a＜e时，f（x）在[a，e]上单调递增，f（x）在[e，2a]上单调递减，e 2
∴f(x)max=f(e)=
．1 e
综上得：
当0＜a≤
时，m＞f(2a)=e 2
；ln2a 2a
当a≥e时，m＞f(a)=
；lna a
当
＜a＜e时，m＞f(e)=e 2
．（12分）1 e
（3）正确，a的取值范围是1＜a＜e．（16分）
注：理由如下，考虑函数f（x）的大致图象．
当x→+∞时，f（x）→0．
又∵f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴f（x）的图象如图所示．
∴总存在正实数a、b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），
即
=lna a
，即ab=ba，此时1＜a＜e．lnb b