问题
解答题
已知函数f(x)=
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数f(x)在区间(m,2m+1)上是单调函数,求实数m的取值范围. |
答案
求导,f′(x)=
=a(x2+b)-ax•2x (x2+b)2
,a(-x2+b) (x2+b)2
又f(x)在x=1处取得极值2,
所以
即f′(1)=0 f(1)=2
,
=0a(b-1) (b+1)2
=2a b+1
解得a=4 b=1
所以f(x)=
.4x x2+1
(Ⅱ)因为f′(x)=
,-4(x+1)(x-1) (x2+1)2
又f(x)的定义域是R,所以由f'(x)>0,
得-1<x<1.所以f(x)在[-1,1]上单调递增,
在(-∞,-1]和[1,+∞)上单调递减.
(1) 当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增,
则
解得-1<m≤0;m≥-1 2m+1≤1 2m+1>m
(2)当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递减,
则
或2m+1≤-1 2m+1>m
解得m≥1.m≥1 2m+1>m
综上,实数m的取值范围是-1<m≤0或m≥1.