问题 解答题
已知函数f(x)=
ax
x2+b
在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(m,2m+1)上是单调函数,求实数m的取值范围.
答案

求导,f′(x)=

a(x2+b)-ax•2x
(x2+b)2
=
a(-x2+b)
(x2+b)2

又f(x)在x=1处取得极值2,

所以

f′(1)=0
f(1)=2
a(b-1)
(b+1)2
=0
a
b+1
=2

解得

a=4
b=1

所以f(x)=

4x
x2+1

(Ⅱ)因为f′(x)=

-4(x+1)(x-1)
(x2+1)2

又f(x)的定义域是R,所以由f'(x)>0,

得-1<x<1.所以f(x)在[-1,1]上单调递增,

在(-∞,-1]和[1,+∞)上单调递减.

    (1) 当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增,

m≥-1
2m+1≤1
2m+1>m
解得-1<m≤0;

    (2)当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递减,

2m+1≤-1
2m+1>m
m≥1
2m+1>m
解得m≥1.

综上,实数m的取值范围是-1<m≤0或m≥1.

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