问题 解答题
已知函数f(x)=
ax
x2+b
在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(m,2m+1)上是单调函数,求实数m的取值范围.
答案

求导,f′(x)=

a(x2+b)-ax•2x
(x2+b)2
=
a(-x2+b)
(x2+b)2

又f(x)在x=1处取得极值2,

所以

f′(1)=0
f(1)=2
a(b-1)
(b+1)2
=0
a
b+1
=2

解得

a=4
b=1

所以f(x)=

4x
x2+1

(Ⅱ)因为f′(x)=

-4(x+1)(x-1)
(x2+1)2

又f(x)的定义域是R,所以由f'(x)>0,

得-1<x<1.所以f(x)在[-1,1]上单调递增,

在(-∞,-1]和[1,+∞)上单调递减.

    (1) 当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增,

m≥-1
2m+1≤1
2m+1>m
解得-1<m≤0;

    (2)当f(x)在区间(m,2m+1)上单调递减,

2m+1≤-1
2m+1>m
m≥1
2m+1>m
解得m≥1.

综上,实数m的取值范围是-1<m≤0或m≥1.

单项选择题
问答题 案例分析题

阅读材料,回答下列问题。

材料一

汉字是当今世界上最古老的文字,也是唯一延续至今的象形文字。汉字的发展,经历了从繁到简、从不规范到规范的过程,识读和书写也越来越方便。几千年来,汉字从来没有被淘汰,相反,传播到周边许多国家,显示了强大的生命力。进入20世纪,汉字开始遭遇前所未有的危机:20世纪初,一些学者主张“废除汉字”、“汉字拼音化”;50年代,国家推行简化汉字引发了汉字繁简之争;近年来,随着计算机的普及,人们手写汉字的机会越来越少,许多中国人正遭遇“提笔忘字”的尴尬。随着《中国汉字听写大会》的热播,全社会掀起了一场“汉字风暴”,人们重新检视自己对汉字的掌握程度,欣赏汉字之美,体味汉字之韵。有关专家表示,电脑时代要重视汉字书写,发扬和传承汉字文化。

材料二

 “残年风烛,发出微弱的光,苍老的手,在人间写下大爱。病弱的身躯,高贵的心灵,他在九旬的高龄俯视生命。一叠叠汇款,是寄给我们的问卷,所有人都应该思考答案。”这是感动中国组委会写给刘盛兰老人的颁奖词。刘盛兰老人17年几乎未尝肉味,没添过一件新衣,"吝啬"的连一个馒头都舍不得买,可捐资助学总计7万多元,资助了100多个学生。

运用唯物辩证法发展观的知识,分析汉字的发展过程。