问题
解答题
已知函数f(x)=
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围． |
答案
求导，f′(x)=
=a(x2+b)-ax•2x (x2+b)2
，a(-x2+b) (x2+b)2
又f（x）在x=1处取得极值2，
所以
即f′(1)=0 f(1)=2
，
=0a(b-1) (b+1)2
=2a b+1
解得a=4 b=1
所以f(x)=
．4x x2+1
（Ⅱ）因为f′(x)=
，-4(x+1)(x-1) (x2+1)2
又f（x）的定义域是R，所以由f'（x）＞0，
得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上单调递增，
在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递减．
（1） 当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
则
解得-1＜m≤0；m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m
（2）当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递减，
则
或2m+1≤-1 2m+1＞m
解得m≥1．m≥1 2m+1＞m
综上，实数m的取值范围是-1＜m≤0或m≥1．